Identités remarquables

Les identités remarquables sont essentielles à comprendre au collège d'abord (3°), car elles seront très utiles ensuite au lycée et exercent bien l'esprit de l'enfant au jeu des mathématiques.

Mais elle sont souvent très mal expliquées, narrées, dites...j'ai même vu une explication ahurissante de carré + triangle au carré = carré au carré plus triangle au carré plus deux fois le triangle par le carré...à bannir absolument tant c'est abscons et que ça égare le cerveau des enfants en leur faisant mélanger des figures géométriques au chiffre...de quoi perdre définitivement Pythagore, penser que Thalès n'est qu'un train...développer in petto une phobie des maths.

Prenons la première "identité" qui n'est qu'une formule permettant ensuite de faciliter des calculs plus compliqués: (a+b)² = a² + 2ab + b²

Voilà une façon de l'exprimer:

a et b sont un couple aimant de lapins de garenne, qui décident d'avoir des bébés.

Ils se multiplient: (a+b)² = (a+b) x (a+b) ce qui se dit "a+b" facteur de "a+b". Le facteur n'est pas celui qui porte les lettres dans la BAL mais représente le signe de la multiplication caché au milieu, qu'on n'écrit pas mais qui est bien là quand même. C'est un porteur de multiplication/reproduction discret qu'on peut écrire à l'encre bleue dans un premier temps pour ne pas l'oublier, avant de l'effacer quand on n'en n'a plus besoin.

L'essentiel est de comprendre comment se déroule cette "fécondation" mathématiques, ou comment l'on passe de deux lettres entre parenthèses avec un petit ² à droite à la forme dite "développée" - quand les bébés lapin sont nés: a²+2ab+b².

C'est parce que chacun des parents lapin va venir multiplier ses cellules avec lui et l'autre. Normal pour avoir une nombreuse progéniture!

a (le lapin blanc) va multiplier les cellules de a et celles de b (le lapin noir). On obtient donc axa qu'on écrit par convention a², puis axb qu'on écrit ab. Si on sait que axa s'écrit a², on comprendra très facilement ensuite que axaxa s'écrit a avec un petit 3 à droite et ainsi de suite.

Puis b va faire le même travail reproducteur: bxa puis bxb soit b².

Ensuite c'est très facile, il suffit d'additionner ces résultats issus de la reproduction: a² + axb + axb + b².

On constate qu'on obtient 2 fois a x b - on a deux petits paquets de cellules ab/deux lapins blancs aux oreilles noires - ce qui permet d'écrire pour plus de facilité 2xaxb ou 2ab, les "facteurs" et signes "x"  sont invisibles par discrétion mais sont bien là, porteurs d'un courrier estampillé "développement".

Alors ensuite, quand il s'agit dans un exercice de cahier de vacances, de "retrouver la forme factorisée" à partir du "développement", on sait qu'il s'agira de retrouver les parents lapins identifiés a et b avant de les écrire entre parenthèses avec un petit ² à droite de la dernière parenthèse. Et au lieu de se casser le bonnet, s'arracher les cheveux et se gratter la tête à l'heure de la sieste, il suffira de repérer à l'œil quels sont les chiffres avec des petits ² à côté d'eux, ou de voir si des chiffres sont les multiples d'eux-mêmes, avant de vérifier quand on croit avoir trouver a et b, que axbx2 correspond bien à ce qu'il y a au milieu de ce mélange de chiffres.

Ex: 9 + 12 + 4 = 3x3 + 2x3x2 + 2x2 = 3² + 2x3x2 + 2² = (3+2)²

Donc le lapin blanc qui est représenté par le chiffre 3 et le lapin noir représenté par le chiffre 2 auront 25 lapereaux: 9 blancs, 12 blancs avec des oreilles noires et 4 noirs.

Bonnes vacances!