Tautologie

Considérons la proposition suivante :
"S'il pleut, alors il pleut."
D'une part, nous signifierons par "p" : "s'il pleut'
et par un second "p" : "il pleut".
Nous avons à représenter le lien logique entre les deux propositions simples : "si... alors" ; ce lien logique se traduit par un connecteur, représenté de cette façon par une flèche : "-->".
ainsi, logiquement traduit, la proposition initiale s'écrit de la sorte : "p --> p". Pour évaluer la validité de la proposition, il nous faut établir que le premier "p" est vrai dans le cas 1, et faux dans le cas deux. Il en va de même pour la seconde proposition simple "p", parce qu'il n'y a qu'une proposition atomique, et qu'il y a donc 2 (valeurs de vérité : vrai, faux) multipliées par 1 proposition simple, donc 2 cas possibles.
Le conditionnel, c'est-à-dire la flèche, fonctionne de telle sorte qu'il est vrai si l'antécédent est vrai ou le conséquent faux, cela signifie qu'il n'est pas vrai si les deux sont effectifs, en même temps ; si c'était le cas, on déduirait le faux du vrai, et cela ne peut constituer une conséquence valide en logique.
De ce fait, nous avons deux cas possibles : le premier, dans lequel "s'il pleut" est vrai, et dans lequel "il pleut" est également vrai. On déduit le vrai du vrai. Le conditionnel est donc valide.
Dans le second cas, nous avons "s'il pleut" qui est faux, et "il pleut" qui est également faux. Lorsque les deux propositions d'un conditionnel sont fausses, le conditionnel est vrai, car "S'il est faux qu'il pleuve, alors il est faux qu'il pleuve" (représentez-vous la chose ainsi pour le premier cas si vous avez du mal). De telle sorte, il est vrai qu'il soit faux qu'il pleuve s'il est faux qu'il pleuve : le conditionnel est donc vrai.
Lorsque tous les cas de vérités sont vrais dans une proposition complexe, on affirme qu'elle est valide, et donc qu'elle est tautologique.
Nous pourrions finir en procédant par méthode des arbres, et ce en vue d'évaluer la proposition en question. Evaluer sous forme d'arbre, c'est chercher à voir s'il y a contradiction en niant la proposition. Si cette contradiction apparaît, c'est que la proposition est valide, donc tautologique ; cela s'explique par le fait que nous avons nié une proposition, et que cette négation permet de savoir si la proposition niée est valide ou non. Par les deux cas de vérité, nous avons montré que "p --> p" est tautologique ; de ce fait, si nous nions cette même proposition, alors l'arbre se fermera, parce qu'il y aura contradiction.
Procédons alors à l'établissement de l'arbre :
"p --> p"
"p |-- p" (ce symbole est une représentation de la déduction syntaxique, et pourrait se traduire par un "donc".)
Nous appliquons la prémisse "p" : "p"
suite à quoi nous nions la conséquence : "non p"
Le conditionnel devient une conjonction "et" ; la proposition ne se lit désormais plus "si p alors p", mais "p et non p".
L'arbre se ferme si et seulement si une proposition simple et sa négation se présentent dans la même branche. En l'occurrence :
                                                 p
                                                  |

                                             non p

                                                  x (contradiction)
L'arbre se ferme, la proposition initiale "s'il pleut, alors il pleut" dont l'équivalence logique est "si p, alors p" ou "p --> p" est valide, du fait de cette contradiction :
de ce fait, le conditionnel en question est tautologique.