1,61 

Italie centre. XIIe siècle. Toscane. Pise 

Ville portuaire importante dès l'Antiquité pré-romaine, Pise constitue une cité-État, la république de Pise (fin Xe-apogée au XIe siècle) 

L'une des plus puissantes républiques maritimes d'Italie. Puis la ville perd de l'importance face à Gênes. Absorbée par la république de Florence 

Guglielmo Bonacci, le père de Leonardo Fibonacci ("fils de Bonacci"), est le représentant des marchands de la république de Pise 

Il dirige un comptoir en Afrique du Nord 

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Leonardo Fibonacci. Mathématicien italien. Pise, 1170 - Pise, 1240  

Sépulture au cimetière de Campo Santo 

Éduqué à Béjaïa, en Algérie -en bordure de la mer Méditerranée, à 220 km à l'est d'Alger ; il étudie les mathématiques 

Les travaux algébriques d'Al-Khwârizmî 

Mathématicien, géographe, astrologue et astronome persan, membre de la Maison de la sagesse de Bagdad 

Né dans les années 780 après J.-C., en Ouzbékistan. Mort vers 850, à Bagdad, Irak 

Fibonacci voyage dans le monde méditerranéen ; il rencontre des scientifiques, prend connaissance des différents systèmes de calcul en usage chez les marchands  

De toutes les méthodes, la plus avancée est celle des Arabes 

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1202. De retour à Pise, il publie un ouvrage, le Liber abaci -le Livre du calcul ou Livre de l'abaque, écrit en latin 

Pise. Système romain. Signes I V X L C D M. Tables à compter, sur lesquelles sont tracées lignes et colonnes 

Fibonacci expose le système de numération indo-arabe 

Système de numération de base dix 

Notation positionnelle -chaque position d'un chiffre est reliée à la position voisine par un multiplicateur 

Dix chiffres, zéro à neuf, dont le tracé est indépendant de la valeur représentée 

La représentation d'un nombre correspond à son développement décimal. 123 = 1 X 100 + 2 X 10 + 3  

Fibonacci est le premier mathématicien à adopter ce système, le diffuser auprès des scientifiques 

Le Liber abaci présente la plupart des résultats connus des Arabes en algèbre (résolutions d'équations) et arithmétique (règles de calcul entre les nombres) ; racines carrées, racines cubiques, équations du premier et du second degré  

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1220. Practica geometriae -les connaissances de l'époque, en géométrie et trigonométrie (mesures des angles des triangles rectangles et les longueurs de leurs côtés) 

Transmis par les manuscrits arabes ou traduits par des Italiens, les écrits d'Euclide (300 ans avant J.-C.) et des autres mathématiciens grecs 

En particulier, l'ouvrage contient la formule de Héron d'Alexandrie (Grec. Fin du 1er siècle après J.-C.). La formule permet de calculer l'aire d'un triangle, en ne connaissant que les longueurs de ses trois côtés 

La formule était déjà connue d'Archimède (Grec. 250 ans av J.-C.) 

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Fibonacci fait connaître les travaux des Anciens. En Occident, il est à l'origine de la renaissance des études mathématiques  

Sa réputation scientifique est importante. Frédéric II, l'empereur du Saint-Empire romain germanique 1194-1250, s'arrête à Pise pour le rencontrer et selon l'habitude du temps, lui poser des problèmes à résoudre 

1225. Le Liber quadratorum -le Livre des nombres carrés, sur l'algèbre 

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Dans le Livre du Calcul, figure le problème suivant :  

Un couple de lapins se reproduit 

Tous les mois, à compter du troisième mois de son existence, chaque couple engendre un nouveau couple  

En une année, combien obtiendra-t-on de couples ?  

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0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 …  

La réponse se construit en une suite récurrente de nombres entiers ; la suite de Fibonacci  

Les deux premiers termes sont 0 et 1 

Le terme d'ordre n + 1 est égal à la somme des deux termes d'ordre n et n-1, pour tout n supérieur ou égal à 2 

Le premier modèle mathématique en dynamique des populations 

Au bout d'un an. 233 couples de lapins  

Deux ans. 75 025 couples 

Trois ans. 24 157 817 couples 

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Lorsque la suite se développe, l'écart s'amenuise entre le rapport de deux de ses termes successifs et le nombre d'or 

21 / 13 = 1,61538461538  

34 / 21 = 1,61904761905  

55 / 34 = 1,61764705882  

89 / 55 = 1,61818181818  

144 / 89 = 1,61797752809  

Le nombre d'or ; une proportion, un quotient, un rapport, un ratio. Symbolisé par la 21e lettre grecque phi  

en capitale Φ 

en minuscule φ ou ϕ 

En hommage au sculpteur grec Phidias (Ve siècle avant J.C.) -auteur de la frise du Parthénon, à Athènes. La frise des Panathénées 

Nombre réel positif ; nombre de décimales infini  

1,618033988749894848204586834365638 ... 

La valeur exacte est ( 1 + √5 ) / 2 

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Le nombre d'or,  

dans la ramification des arbres 

la disposition des feuilles, sur une tige 

la floraison d'un artichaut 

la disposition des pommes de pin 

la coquille d'un escargot 

la spirale des graines de tournesol  

le nombre de pétales d'une marguerite 

la forme d'une galaxie spirale, comme la Voie lactée -13,61 milliards d'années 

... 

* 

Grèce, Acropole d'Athènes. Le Parthénon -"la demeure des vierges". 447 à 432 av. J.-C.  

Destiné à la conservation d'une sculpture de la déesse Athéna, la patronne de la cité 

Les proportions parfaites du Parthénon reposeraient sur le nombre d'or (1,61) 

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Vitruve est un ingénieur et architecte romain. Célèbre pour son traité De architectura, qu'il écrit à la fin de sa vie (Ier siècle av J.-C.) 

Vitruve développe et précise un système de proportions remarquables et mesurables, au niveau du corps humain ; à l'intention des bâtisseurs, afin qu'ils s'en inspirent pour établir les dimensions de leurs propres constructions 

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 1490. L'Homme de Vitruve. Léonard de Vinci 1452-1519. Dessin annoté, réalisé à la plume, encre et lavis sur papier 

L'Homme dans un cercle, inscrit dans un carré 

Deux figures géométriques ; l'union des contraires, la dualité 

Le rapport entre le côté du carré et le rayon du cercle, serait le nombre d'or 

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"Jardins sous la pluie". Estampe 3 pour piano (1903) 

Claude Debussy 1862-1918 écrit à son éditeur Jacques Durand 

J'ai tenté de faire correspondre le nombre de mesures, au “nombre magique”