2 3 5  

Les nombres premiers sont présents dans de nombreux domaines des mathématiques 

Internet. Ils jouent un rôle clé dans les systèmes de cryptage ; protection des données privées, sécurisation des messages hautement confidentiels, protection des transactions bancaires, etc.  

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Les nombres premiers ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes  

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 …  

Ne sont pas premiers 4 (2 X 2) 6 (2 X 3) ...  

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-300 avant J.-C. Euclide d'Alexandrie, mathématicien grec. "Les Éléments" 

Traité mathématique et géométrique, constitué de treize livres organisés par thème 

Il existe un nombre infini de nombres premiers 

A mesure que l'on avance dans la suite des nombres entiers, ils sont de plus en plus rares 

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La répartition des nombres premiers semble aléatoire ? 

Pas de corrélation particulière entre les caractéristiques de nombres premiers voisins ? 

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Les nombres premiers font l'objet de conjectures (hypothèses, à démontrer) ou de théorèmes 

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La conjecture de Goldbach 

7 juin 1742. Christian Goldbach, mathématicien allemand 1690-1764 

« Tout nombre pair supérieur ou égal à 2 est la somme de deux nombres premiers » 

24, nombre pair est la somme de 11 et 13, qui sont des nombres premiers 

16, nombre pair est la somme de 11 et 5, qui sont des nombres premiers 

L'un des plus anciens problèmes mathématiques, irrésolu à ce jour 

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L'hypothèse de Riemann 

1859. Bernhard Riemann, mathématicien allemand 1626-1866  

La fonction de Riemann est une fonction analytique complexe ; la position de ses zéros complexes est liée à la répartition des nombres premiers  

États-Unis, État du Massachusetts. Cambridge. Clay Mathematics Institute (CMI) 

2000. Le premier des sept problèmes mathématiques du millénaire, doté d'un prix d'un million de dollars 

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5 juillet 2022 

La conjecture des nombres premiers jumeaux 

Ces nombres sont séparés par un seul nombre 

3 et 5 5 et 7 11 et 13 17 et 19 29 et 31 41 et 43 59 et 61 107 et 109 617 et 619 ... 

Il existe une infinité de nombres premiers jumeaux ? 

Aucune démonstration n'en a encore été faite 

Plus généralement, il existe une infinité de nombres premiers, dont l'écart est plus petit qu'une borne finie ? 

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2004. Ben Green (Britannique, né en 1977) 

Terence Chi-Shen Tao (né en 1975, mathématicien australien, médaillé Fields en 2006) 

Théorème de Green-Tao  

Pour un entier naturel k arbitraire, il existe une suite arithmétique de k termes, formée de nombres premiers 

La suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues 

Il est possible de trouver des séries de ce type, aussi longues que souhaité 

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Par exemple, la série de 10 nombres premiers, qui vont de 210 en 210 

1 879 et 2 089 ... 

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Mai 2013. Yitang Zhang (né en 1955), mathématicien chinois 

Il existe une infinité de nombres premiers, dont l'écart est plus petit ou égal à 70 000 000 

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2009. Une plate-forme en ligne permet aux mathématiciens de collaborer, pour trouver une solution à un problème, améliorer un résultat, vérifier une preuve, etc. 

Projet Polymath8 (Polymath project) 

Optimiser le résultat de Zhang  

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Étudiant post-doctorant à Montréal, Canada. James Maynard, mathématicien britannique (né en 1987), optimise le crible de Selberg 

Années 1940. Technique développée par Atle Selberg, mathématicien norvégien (1917-2007). Estimer la taille des "ensembles criblés", qui satisfont à un ensemble de conditions 

Maynard rend la méthode de Zhang, plus efficace  

À l'issue du projet Polymath8, l'écart entre les nombres premiers passe de 70 000 000 à 246 

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2017. Collaboration avec Dimitris Koukoulopoulos (mathématicien grec, né en 1984) 

Maynard démontre la conjecture sur la manière d'approcher les nombres réels, par des nombres rationnels (rapport de deux nombres entiers p/q) 

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Par exemple π (Pi) 

Le rapport constant de la circonférence d'un cercle à son diamètre  

3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582 ... 

Ce nombre irrationnel s'écrit avec un nombre infini, de décimales (sans suite logique) 

π peut être approché par le quotient de deux nombres entiers (p / q)  

3 / 1 31 / 10 314 / 100 3141 / 1000 etc. 

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5 juillet 2022. James Maynard Professeur à l'université d'Oxford, Angleterre. Médaille Fields 

35 ans, le benjamin du palmarès. Quatre médaillés  

29e congrès international des mathématiciens. La médaille est délivrée tous les quatre ans par l'Union mathématique internationale. Création en 1936, quarante-quatre lauréats  

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Gérald Tenenbaum (né en 1952) et Michel Mendès France (1936-2018), mathématiciens français 

Les nombres premiers. Récalcitrante intimité 

Ordre chaotique. Savant désordre 

Gérald Tenenbaum. « Dans la limite des contraintes structurelles, il y a régularité globale et dispersion aléatoire locale »