La conjecture 

Henri Poincaré 

Mathématicien français. Physicien théoricien. Philosophe des sciences  

29 avril 1854. Naissance à Nancy (Meurthe-et-Moselle) 

17 juillet 1912. Décès à Paris. 58 ans. Embolie pulmonaire  

Sépulture de Henri Poincaré et de son épouse, Louise Poulain d'Andecy (1857-1934). Cimetière du Montparnasse, 16e division  

Quatre enfants. Jeanne (1887). Yvonne (1889). Henriette (1891). Léon (1893) 

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"[...] Ce qui frappera tout d'abord, ce sont ces apparences d'illumination subite, signes manifestes d'un long travail inconscient antérieur. Le rôle de ce travail inconscient dans l'invention mathématique me paraît incontestable" 

"Le savant n'étudie pas la nature car c'est utile ; il l'étudie car il y prend plaisir et il y prend plaisir car elle est belle [...] je veux parler de cette beauté plus intime qui vient de l'ordre harmonieux des parties, qu'une intelligence pure peut saisir"  

"Douter de tout ou tout croire sont deux solutions également commodes. L'une et l'autre nous dispensent de réfléchir" 

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L'un des derniers mathématiciens universels -il maîtrise les mathématiques et la physique de son époque 

Lors de ses recherches sur la résolution des équations différentielles, Poincaré prend conscience de l'importance fondamentale des idées d'Évariste Galois (20 ans. Décès à la suite d'un duel galant) 1811-1832 

Notion de groupe. Correspondance entre symétries et invariants. Théorie de l'ambiguïté  

Poincaré déclare au mathématicien Sophus Lie. « Les mathématiques ne sont qu'une histoire de groupes » 

Il existe des connexions entre la théorie des groupes, la géométrie non euclidienne et la théorie de certaines équations différentielles  

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Poincaré applique ses découvertes à d'autres disciplines -la mécanique, la physique, l'astronomie 

Optique. Électromagnétisme 

23 juillet 1905. « Sur la dynamique de l'électron ». Les travaux de Poincaré (51 ans) préfigurent certains aspects de la relativité restreinte d'Albert Einstein (26 ans). 28 septembre 1905. Revue allemande Annalen der Physik 

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Les systèmes dynamiques. Théorie du chaos -l'effet papillon ; une infime modification des conditions initiales peut engendrer des effets importants 

La Science et l'Hypothèse (1902) Poincaré fait le point sur ce qu'il faut attendre ou non, des sciences 

« Un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là, et il étend ses ravages sur des contrées qu'il aurait épargnées » 

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1687. Loi de l'attraction universelle, Isaac Newton 1643-1727 

Poincaré. Solution partielle au problème des trois corps ; déterminer les trajectoires d'un ensemble de trois corps, soumis à leur seule attraction mutuelle 

Dans un système à trois corps, instable et chaotique, l'un des corps finit toujours par être expulsé ; ensuite, une relation binaire s'établit entre les deux corps restants 

Mécanique céleste. Trois -ou n corps. Pas de stabilité des orbites à long terme ? 

Problème de la stabilité du Système solaire (-4,55 milliards d'années) -instabilité fondamentale 

Les orbites régulières du Système solaire ne sont qu'une phase transitoire (dont la durée peut se compter en milliards d'années) ? 

Expliquer certaines observations du fond diffus cosmologique ; selon le modèle standard de la cosmologie, ce rayonnement a été émis 380 000 ans après le Big Bang (-13,7 milliards d'années) 

Le modèle cosmologique dodécaédrique (polyèdre à douze faces) de Poincaré est la bonne description de l'Univers ? 

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Topologie algébrique. Étude des déformations spatiales par des transformations continues -sans arrachages, ni recollement des structures 

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Un cylindre n'est pas simplement connexe (trou, forme de tunnel) 

Un plan, une sphère, sont simplement connexes (absence de trou dans la forme) 

La sphère est le seul volume, à la fois, sans bord, compacte (bornée dans l'espace) et simplement connexe 

Poincaré, intuition. Ces trois propriétés caractérisent la sphère usuelle (3 dimensions) ; et les sphères de dimensions supérieures (4 et au-delà) 

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1904. Conjecture (supposition) de Poincaré 

Toute variété (objet) compacte de dimension n = 3 (ou plus), sans bord et simplement connexe, est homéomorphe (même forme) à une sphère de dimension n 

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1961-1962. Conjecture démontrée, pour toutes les dimensions supérieures ou égales à 5  

n = 5 Erik Christopher Zeeman (36 ans), Britannique 1925-2016 

n ≥ 7 Puis n ≥ 5 Stephen Smale (31 ans), Américain (né en 1930)  

n = 6 John R. Stallings (26 ans), Américain 1935-2008  

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1982 Michael H. Freedman (31 ans), Américain (né en 1951). Conjecture démontrée, pour la dimension 4  

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Il reste à traiter le cas des variétés de dimension 3 

2000. États-Unis. Cambridge, Massachusetts. Le Clay Mathematics Institute (CMI) classe la conjecture, parmi les sept « problèmes du millénaire » ; tous dotés d'une récompense d'un million de dollars 

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Fin des années 1970. Intuition de William Thurston, mathématicien américain 1946-2012 

Conjecture de géométrisation ; si la conjecture de géométrisation est vraie, alors la conjecture de Poincaré est vraie 

Perelman va prouver les dernières parties en suspens de la conjecture de géométrisation 

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1982. Travaux de Richard S. Hamilton, mathématicien américain (né en 1943).  

Hamilton établit un « plan d'attaque » de certains problèmes en topologie des variétés, notamment la conjecture de Poincaré 

Théorème de la sphère différentiable. Le flot de Ricci, base de la démonstration par Grigori Perelman  

Gregorio Ricci-Curbastro, mathématicien italien 1853-1925. Spécialiste de la géométrie différentielle, l'un des pères du calcul tensoriel 

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Sept ans de travail 

11 novembre 2004. . Site Internet arXiv, prépublications électroniques d'articles scientifiques. Grigori Perelman publie un article (39 pages) 

Il démontre la « conjecture de géométrisation ». Dans le cas n=3, la conjecture de Poincaré est exacte 

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Russie, Saint-Pétersbourg. Grigori Perelman (36 ans. Né en 1966). Mathématicien 

Il vit chez sa mère, âgée. Modeste appartement HLM 

Russian Academy of Sciences. Department of V.A. Steklov Institute of Mathematics. Depuis quinze ans, chercheur 

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2005. Perelman quitte ses fonctions de chercheur 

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Les spécialistes vérifient la démonstration de Perelman ; 2006. Le résultat est confirmé 

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22 août 2006. Médaille Fields. Décernée tous les quatre ans, lors du 25e Congrès international des mathématiciens (Espagne, Madrid) 

Allemagne, Berlin. Institut Weierstrass. Union mathématique internationale  

Perelman refuse la médaille 

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Mars 2010. États-Unis. Clay Mathematics Institute (CMI). Perelman, lauréat d'un prix du millénaire (850 000 euros) 

La conjecture de Poincaré est le seul des sept problèmes qui a été résolu 

Perelman renonce au prix 

Il juge injuste d'être récompensé ; sa contribution n'est pas plus décisive, que celle du mathématicien américain Richard Hamilton